Obsah > Základy kosmonautiky > Kurz kosmonautiky > 2. Teorie letu

[ Proč kosmonautika | Teorie letu | Rakety a kosmodromy | Družice a sondy ]

2. Teorie letu (Jak teoreticky létat do kosmu a v kosmu?)

Když už víme proč do kosmu letět, musíme se naučit jak tam létat a pracovat. Nejprve teoreticky.

Pro začátek si můžeme definovat, co budeme považovat za kosmický prostor a co za kosmický let. Za kosmický prostor budeme považovat celý zbytek vesmíru, kromě planety Země (na které žijeme) a její atmosféry (v té létají balóny a letadla). Atmosféra směrem od Země postupně řídne a za její horní hranici se považuje výška zhruba 120 km nad povrchem Země. Do této výšky je totiž atmosféra ještě tak hustá, že klade pohybu rychle se pohybujících těles příliš velký odpor. To ovšem platí ještě o řadu kilometrů výše, a proto my budeme raději počítat s horní hranicí atmosféry až ve výšce 200 km. Za kosmický let se pak považuje takový let, při kterém umělé kosmické těleso vykoná alespoň jeden oblet kolem Země, nebo nad hranicemi atmosféry setrvá alespoň 90 minut.

Ve vesmíru se všechna tělesa pohybují podle základních fyzikálních zákonů - zákona setrvačnosti a gravitačního zákona. Podle zákona setrvačnosti každé těleso setrvává v rovnoměrném, přímočarém pohybu, pokud na něj nepůsobí nějaké vnější síly. Podle gravitačního zákona na sebe dvě tělesa vzájemně působí přitažlivou silou, která je přímo úměrná jejich hmotnostem a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti.

Pro výpočet rychlosti, potřebné pro uvedení družice na oběžnou dráhu Země, můžeme vyjít z představy, že se musí vyrovnat gravitační přitažlivá síla Fg s odstředivou silou Fo při kruhovém pohybu kolem Země. Gravitační síla má hodnotu Fg=mµ/r2 a odstředivá síla Fo=mv2/r. Hledáme potřebnou (tzv. kruhovou) rychlost, tedy vk=sqrt(µ/r) (zkratkou sqrt zde označuji druhou odmocninu). Jak je vidět, tak tato rychlost nezávisí na hmotnosti družice m, ale jen na gravitačním parametru soustavy µ (pro Zemi má hodnotu 398600,3 km3/s2) a vzdálenosti od středu Země r. Kruhová rychlost družice, která by se pohybovala těsně nad povrchem Země, se nazývá první kosmická rychlost a vychází na 7905 m/s (při poloměru Země 6378 km).

Abychom tedy nějaké těleso dostali alespoň na nízkou oběžnou dráhu Země (zkratka LEO - Low Earth Orbit), takovému tělesu budeme dále říkat družice, musíme ho vynést do výšky nejméně 200 km a udělit mu horizontální rychlost zhruba 8000 m/s. Pokud si uvědomíme, že běžná nadzvuková letadla se pohybují ve výškách "jen" kolem 20 km a rychlostí "jen" kolem 800 m/s, pak je vidět, že dostat se do kosmu je opravdu obtížný úkol. O tom, jak je možno tento úkol uskutečnit prakticky si povíme později v lekci Rakety a kosmodromy.

Když už ale družice má potřebnou výšku a rychlost a je na oběžné dráze, tak se dále pohybuje jen setrvačností (další pohon už nepotřebuje) a obíhá kolem centrálního tělesa ve stále stejné rovině (vzhledem ke hvězdám). Pokud družici udělíme počáteční rychlost o něco větší (nebo menší), než potřebnou kruhovou, bude se pohybovat po eliptické dráze, protože se nadbytečná kinetická energie mění v energii potenciální (s rostoucí výškou klesá rychlost) a naopak. Bod dráhy s minimální vzdáleností od středu centrálního tělesa nazýváme pericentrum (u Země perigeum) a nejvzdálenější (protilehlý) bod dráhy nazýváme apocentrum (u Země apogeum). Zákonitosti tohoto pohybu popsal už Johannes Kepler ve třech fyzikálních zákonech. První zákon říká, že těžiště soustavy družice - centrální těleso leží v jednom ze dvou ohnisek eliptické dráhy. Podle druhého zákona plochy opsané průvodičem družice (spojnice družice se středem centrálního tělesa), jsou za stejný časový interval stejné, takže v pericentru se družice pohybuje rychleji než v apocentru. Třetí Keplerův zákon ještě říká, že poměr druhých mocnin dob oběhů je stejný, jako poměr třetích mocnin velkých poloos.

Pokud urychlíme družici tak, že se apocentrum právě vzdálí nade všechny meze, změní se eliptická dráha na otevřenou kuželosečku - parabolu. Rychlost tělesa při pohybu po parabole je dána vztahem vp=sqrt(2µ/r)=vksqrt(2)=1,4142vk . Protože to je nejmenší rychlost, kterou se může těleso vzdálit do nekonečna, nazývá se tato rychlost úniková, nebo také parabolická, či druhá kosmická rychlost. U povrchu Země činí 11180 m/s. Třetí kosmická rychlost je úniková rychlost vzhledem ke Slunci (tedy ze sluneční soustavy) a u Země je 16670 m/s.

Pokud však chceme kompletně popsat dráhu družice v prostoru, musíme vyjít z určité základní roviny. Při pohybu kolem Země je to rovina zemského rovníku, při pohybu kolem Slunce je to rovina oběžné dráhy Země kolem Slunce, tzv. ekliptika. Úhel, který svírá rovina oběžné dráhy se základní rovinou je sklon dráhy a značí se i. Tvar a velikost dráhy lze určit podle výstřednosti e (mírou protáhlosti - excentricity elipsy) a délky velké poloosy a (vzdálenosti pericentra od apocentra). U družic bývá často místo velké poloosy a a excentricity e uváděna výška pericentra hP a apocentra hA nad povrchem planety. Mezi parametry bývá také uváděna doba oběhu (perioda) P. Podle 3. Keplerova zákona zde platí vztah a3=µ(P/2¶)2. Přesný výpočet dráhy družice a její okamžité polohy v prostoru je poměrně obtížný matematický úkol, který zde nebudeme rozebírat. Na tomto místě pouze konstatuji, že při pohybu družice na oběžné dráze na ní působí celá řada rušivých vlivů (odpor atmosféry, přitažlivost Slunce, Měsíce a dalších planet, ale také třeba zploštění Země), které způsobují postupné snižování výšky oběžné dráhy a stáčení roviny oběžné dráhy v prostoru. Zájemce o další detaily musím odkázat na dostupnou odbornou literaturu, případně na další informace v rámci této encyklopedie.

Nyní se však podíváme do kosmu ještě trochu dále. Často se totiž potřebujeme dostat na oběžnou dráhu dále od Země (například až na geostacionární dráhu (zkratka GEO - Geostationary Earth Orbit) ve výši cca 36000 km nad rovníkem, která je velmi výhodná pro telekomunikace, protože doba oběhu se zde rovná periodě rotace Země [24 hodin] a družice zdánlivě visí nad jedním místem Země nad rovníkem), potřebujeme se přiblížit k jiné družici, nebo se dokonce zcela vymanit z gravitačního pole Země a doletět až k jiným planetám Sluneční soustavy a dál. K tomu musíme umět v kosmu manévrovat, tedy měnit sklon a výšku oběžné dráhy družice. Pokusíme se určit, jak hodně a jakým způsobem je třeba změnit rychlost družice, aby se dostala na potřebnou dráhu.

Po poměrně složitém fyzikálním rozboru, který se vymyká rozsahu tohoto kurzu, dospějeme ke zjištění, že pro zvýšení apocentra dráhy (bez změny roviny dráhy) musíme družici urychlit podle vztahu dv1=sqrt(2µ(1/rP-1/(rP+rA)))-sqrt(µ/rP). Pro zvýšení pericentra platí vztah dv2=sqrt(µ/rA)-sqrt(2µ(1/rA-1/(rP+rA))). Při menším manévrování pro potřeby setkání s jinou družicí na nízké dráze je třeba měnit výšku dráhy o desítky až stovky km, takže potřebné změny rychlosti vychází v řádu desítek až stovek m/s. Pro přechod na dráhu geostacionární však už potřebujeme zvýšit dráhu o cca 36000 km (nejprve apogeum a pak i perigeum) a urychlení je tedy třeba celkem o dalších cca 4000 m/s. To je dokonce více než urychlení, které je třeba k dosažení Měsíce (cca 3000 m/s), nebo únikové rychlosti z gravitačního pole Země (tedy do nekonečna), a z nízké oběžné dráhy vychází na cca 3400 m/s. Je tedy vidět, že dosažení geostacionární dráhy (stejně jako dosažení Měsíce a meziplanetárních drah) je značně energeticky náročné (a tedy i drahé).

Konkrétní hodnoty manévrů si můžete přepočítat v následujícím formuláři (měnit můžete hP a hA).

Manévry na oběžné dráze (změna výšky dráhy)
hP [km]: hA [km]: P [min]: dv1 [m/s]: dv2 [m/s]: dv [m/s]:  

Energeticky velmi náročné jsou také změny sklonu, nebo roviny oběžné dráhy. Odpovídající vzorec je dv=2vk.sin(di/2)=2sqrt(µ/r).sin(di/2). Ke změně sklonu dráhy o 1° na nízké oběžné dráze (hP = 200 km), je tedy třeba urychlení o 136 m/s, což naopak při zachování stejné roviny stačí na zvýšení dráhy o celých 236 km.

Závislost potřebné změny rychlosti na výšce a velikosti změny sklonu dráhy je v následujícím formuláři (měnit můžete h, di i dv).

Manévry na oběžné dráze (změna roviny dráhy)
h [km]: di [°]: dv [m/s]:  

Pro setkání s jinou družicí se však potřebujeme nejen dostat na stejně vysokou oběžnou dráhu, ale i přesně do stejné roviny dráhy a také ve správný čas. Protože splnit všechny tyto podmínky najednou rovnou při startu je téměř nemožné, používá se následující postup. Pro začátek je nejdůležitější navést družici do stejné roviny oběžné dráhy. Proto se při startu čeká na okamžik, kdy rovina dráhy cílového tělesa protíná místo startu. Protože rotace Země je poměrně rychlá, tak období, vhodné pro okamžik startu je dlouhé jen několik minut (jde o tzv. startovní okno). Družice je pak navedena na nižší oběžnou dráhu (ve stejné rovině jako cílové těleso). Protože doba oběhu cílového tělesa na vyšší dráze je delší, než naší družice, tak družice začne cílové těleso dohánět. V nejhorším případě ho musí dohnat téměř o jeden celý oběh, což obvykle trvá maximálně dva dny. Pak se postupně dráha družice zvedá a rychlost přibližování se tím snižuje. V závěrečné fázi je družice navedena na dráhu v prakticky stejné výši jako cílové těleso a do jeho blízkosti (maximálně několik kilometrů daleko). Z této pozice se pak obě tělesa už přibližují velmi pomalu drobnými korekcemi dráhy. Po navázání rádiového, radarového a vizuálního kontaktu se obě tělesa mohou nakonec přiblížit do bezprostřední vzdálenosti (v řádu metrů), nebo se i spojit (což je většinou cílem setkávacích manévrů).

Ještě náročnější jsou meziplanetární lety k jiným planetám naší Sluneční soustavy. Nejprve se musí počkat na vhodné postavení obou planet, pak ve vhodný okamžik odstartovat a navést sondu na meziplanetátní dráhu, což znamená překročit únikovou rychlost z gravitačního pole Země (to je tzv. druhá kosmická rychlost a u Země činí 11180 m/s). Po příletu k cílové planetě (přesnost přeletové dráhy je obvykle třeba v průběhu letu korigovat drobnými manévry) je pak ještě třeba zase výrazně zpomalit a zachytit se tak na oběžné dráze planety, případně na ní i přistát (to znamená zabrzdit celou příletovou nebo oběžnou rychlost až téměř k nule).

Teď už (zhruba) teoreticky víme, jak létat do kosmu a v kosmu, ale musíme se naučit dokázat to i prakticky. To je obsahem další lekce kurzu nazvané Rakety a kosmodromy.

Aleš Holub


Aktualizováno : 30.12.2001

[ Obsah | Základy | Kurz kosmonautiky | < Proč kosmonautika | Rakety a kosmodromy > ]

Pokud není uvedeno jinak, jsou použité fotografie z NASA (viz. Using NASA Imagery) a dalších volně přístupných zdrojů.